Question

已知α，β∈R，直线

x

sinα+sinβ

+

y

sinα+cosβ

=1与

x

cosα+sinβ

+

y

cosα+cosβ

=1的交点在直线y=-x上，则sinα+cosα+sinβ+cosβ=（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．2

Answer 1

分析：设两直线的交点为（x₀，-x₀），由题设条件知：sinα，cosα为方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1的两个根，即为方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的两个根．由此能求出sinα+cosα+sinβ+cosβ的值．

解答：解：∵两直线的交点在直线y=-x上，
∴设两直线的交点为（x₀，-x₀），
由题设条件知：sinα，cosα为方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1的两个根，
即为方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的两个根．
因此sinα+cosα=-（sinβ+cosβ），
∴sinα+cosα+sinβ+cosβ=0．
故选A．

点评：本题考查根与系数的关系的应用，具体涉及到直线方程、交点坐标、三角函数、韦达定理等基本知识点，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．