Question

（2009•河西区二模）已知a是实数，函数f（x）=x3-(a+

3

2

)x2+2ax+1
（Ⅰ）若f′（2）=4，求a的值及曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，4]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（2）=4可解得a值，从而可得f（x），f（2），由点斜式可求切线方程；
（Ⅱ）由f'（x）=0，得x1=1，x2=

2a

3

，按照

2

3

a≤1，

2

3

a≥4，1＜

2

3

a＜4时三种情况进行讨论，利用函数的单调性可求得函数的最大值；

解答：解：（I）f'（x）=3x²-（2a+3）x+2a，
由f'（2）=12-4a-6+2a=4，解得a=1，
于是f(x)=x3-

5

2

x2+2x+1，
故f(2)=8-

5

2

×4+4+1=3，
∴切线方程为y-3=4（x-2），即4x-y-5=0；
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得x1=1，x2=

2a

3

，
①当

2

3

a≤1时，即a≤

3

2

时，在x∈（1，+∞）内，f'（x）＞0，于是f（x）在[1，4]内为增函数．从而fmax=f(4)=64-16(a+

3

2

)+8a+1=41-8a；
②当

2

3

a≥4，即a≥6，在x∈(1，

2a

3

)内，f'（x）＜0，于是f（x）在[1，4]内为减函数，从而fmax=f(1)=

1

2

+a；
当1＜

2

3

a＜4时，f（x）在[1，

2a

3

)内递减，在(

2a

3

，4]内递增，故f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）与f（4）的较大者．
又f（1）=a+

1

2

，f（4）=41-8a，
由41-8a＞

1

2

+a，得a＜

9

2

，故当

3

2

＜a≤

9

2

时，f_max=f（4）=41-8a；
当

9

2

＜a＜6时，fmax=f(1)=

1

2

+a．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．