Question

18．已知数列{a_n}是等差数列，首项a₁=39，公差d=-2，前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，首项b₁=5，公比q=2，前n项和为T_n．如果从第m项开始，对所有的n∈N^*都有T_n＞S_n，则m=7．

Answer 1

分析 利用等差数列的前n项和可得：S_n=-（n-20）²+400，且当n=40时，S_n取得最大值400．利用等比数列的前n项和公式可得T_n=5×2ⁿ-5．可知：T_n是关于n的单调递增数列．当n=6时，T₆＜400，当n=7时，T₇=635＞400．即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}是等差数列，首项a₁=39，公差d=-2，
∴前n项和为S_n=$39n+\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）
=-n²+40n．
=-（n-20）²+400，
∴当n=40时，S_n取得最大值400．
∵数列{b_n}是等比数列，首项b₁=5，公比q=2，
∴前n项和为T_n=$\frac{5（{2}^{n}-1）}{2-1}$=5×2ⁿ-5．
可知：T_n是关于n的单调递增数列．
当n=6时，T₆=5×2⁶-5=315，
当n=7时，T₇=5×2⁷-5=635．
因此从第7项开始，对所有的n∈N^*都有T_n＞S_n，则m=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、数列的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．