Question

已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．
（1）判断函数g（x）=x²+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）先求出 g^-1（x） 的解析式，换元可得g^-1（x+1）的解析式，将此解析式与g（x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．
（2）先求出f^-1（x） 的解析式，再求出 f^-1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f^-1（x+2）的解析式，用两种方法得到的 f^-1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．
（3）设点（x₀，y₀）在y=f（ax）图象上，则（y₀，x₀）在函数y=f^-1（ax）图象上，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
 f(x0)=

x

x0

f(x)，即f(x)=

x0f(x0)

x

，即 f(x)=

k

x

(k≠0)  满足条件．

解答：解（1）函数g（x）=x²+1（x＞0）的反函数是g-1(x)=

x-1

(x＞1)，
∴g-1(x+1)=

x

(x＞0)，
而g（x+1）=（x+1）²+1（x＞-1），其反函数为y=

x-1

-1(x＞1)，
故函数g（x）=x²+1（x＞0）不满足“1和性质”．
（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．
∴f-1(x)=

x-b

k

(x∈R)，∴f-1(x+2)=

x+2-b

k

，
而 f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数 y=

x-b-2k

k

，
由“2和性质”定义可知 

x+2-b

k

= 

x-b-2k

k

，对（x∈R）恒成立．
∴k=-1，b∈R，即所求一次函数f（x）=-x+b（b∈R）．
（3）设a＞0，x₀＞0，且点（x₀，y₀）在y=f（ax）图象上，则（y₀，x₀）在函数y=f^-1（ax）图象上，
故

f(ax0)=y0 f-1(ay0)=x0

，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
令  ax₀=x，则a=

x

x0

，∴f(x0)=

x

x0

f(x)，即f(x)=

x0f(x0)

x

．
综上所述，f(x)=

k

x

(k≠0)，此时f(ax)=

k

ax

，其反函数是y=

k

ax

，
而f-1(ax)=

k

ax

，故y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数．

点评：本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．