Question

已知函数f（x）=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期
（2）求f（x）的最大值及此时x的取值集合；
（3）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+

π

6

），由周期公式可得；
（2）当x+

π

6

=2kπ+

π

2

时，f（x）取最大值2，易得此时x的集合；
（3）由2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得单调递减区间．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π；
（2）当x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

3

，k∈Z时，
f（x）取最大值2，此时x的取值集合为{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}；
（3）由2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

，
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，（k∈Z）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及设计师的周期性和单调性及最值，属基础题．