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已知函数f(x)满足下列条件
①定义域为(-1,1)
②对于任意的x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy

③当x<0时f(x)>0    
已知该函数为奇函数,若f(-
1
3
)=1,写出方程f(x)+
1
2
=0的一个解.
考点:抽象函数及其应用
专题:计算题,函数的性质及应用
分析:利用赋值法,令x=y=0,可求出f(0)的值;由于f(x)为奇函数,先证f(x)在(0,1)上单调递减,先设0<x1<x2<1,然后作差求f(x1)-f(x2),根据题目条件进行化简变形判定其符号,根据函数单调性的定义即可判定.从而推出f(x)在(-1,1)上递减,方程f(x)+
1
2
=0即为2f(x)+1=0,而f(-
1
3
)=1,即为f(
1
3
)=-1,则有2f(x)=f(
1
3
),则f(
2x
1+x2
)=f(
1
3
),再由单调性,解方程即可得到.
解答: 解:令x=y=0则f(0)+f(0)=f(0),则f(0)=0,
由于f(x)为奇函数,先证f(x)在(0,1)上单调递减,
设0<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1-x2
1-x1x2
).
而x1-x2<0,0<x1x2<1所以-1<
x1-x2
1-x1x2
<0,
∵当x∈(-1,0)时,f(x)>0,
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1-x2
1-x1x2
)>0,
即当x1<x2时,f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,1)上单调递减.
则f(x)在(-1,1)上递减,
方程f(x)+
1
2
=0即为2f(x)+1=0,而f(-
1
3
)=1,即为f(
1
3
)=-1,
则有2f(x)=f(
1
3
),则f(
2x
1+x2
)=f(
1
3
),
由于f(x)在(-1,1)上递减,
2x
1+x2
=
1
3
,解得x=3-2
2
(3+2
2
舍去).
故方程f(x)+
1
2
=0的一个解为:3-2
2
点评:本题主要考查了函数的单调性的判定与证明,以及单调性的运用:解方程,属于中档题.
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3
4
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3
4
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3
2
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