Question

f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）为减函数，
（1）若f（1+2x）+f（1-x）＜0，求x的取值范围；
（2）若f（x²+1）+f（m-x）＜0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先将f（1+2x）+f（1-x）＜0，变形为f（1+2x）＜-f（1-x）的形式，再利用奇函数性质去掉外面的“-”，最后利用单调性列出x的不等式；
（2）仿照（1）的方法将原式进行变形，最后转化成一个关于x的不等式恒成立问题，通过分离常数求解．

解答： 解：f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，又当x∈[0，+∞）时，f（x）为减函数，所以该函数在R上是单调减函数．
（1）由f（1+2x）+f（1-x）＜0得f（1+2x）＜-f（1-x）=f（x-1），结合该函数在R上递减，所以1+2x＞x-1，解得x＞-2；
（2）由f（x²+1）+f（m-x）＜0得f（x²+1）＜-f（m-x）=f（x-m）恒成立，结合该函数在R上递减，所以x²+1＞x-m在R上恒成立，即m＞-x²+x-1恒成立，
只需m＞（-x²+x-1）_max即可，而y=-x2+x-1=-(x-

1

2

)2-

3

4

≤-

3

4

，
故m＞-

3

4

即为所求．

点评：本题考查了抽象函数条件下的不等式问题，一般是利用奇偶性结合单调性将（　　）去掉，化简得到关于x的不等式最终求解．