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已知数列{an}中a1=1,a2=2,数列{an}的前n项和为Sn,当整数n>1时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则数列{
1
anan+1
}的前n项和为
3n-1
4n
3n-1
4n
分析:首先要由前n项和的关系式得到数列的递推公式,进而得到数列的通项公式,再由数列求和的裂项法即可得到正确结论.
解答:解:由于a1=1,a2=2,当整数n>1时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,
所以S1=a1=1,S2=3,S3=7,故a3=4,
由于数列{an}中数列{an}的前n项和为Sn,当整数n>1时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,
则Sn+2+Sn=2(Sn+1+S1)所以an+2+an=2an+1,则数列{an}从第二项起为等差数列,
则数列an=
1,n=1
2n-2,n≥2
,所以n>1时,
1
anan+1
=
1
(2n-2)(2(n+1)-2)
=
1
2n-2
-
1
2(n+1)-2
=
1
2n-2
-
1
2n

故数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn=(1-
1
2
)+
1
2
[(
1
2
-
1
4
)+(
1
4
-
1
6
)…+(
1
2n-2
-
1
2n
)]
=
1
2
+
1
2
(
1
2
-
1
2n
)
=
3n-1
4n

故答案为
3n-1
4n
点评:本题主要考查数列求和的裂项法.着重考查学生的运算能力.属于基础题.
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}
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3
32
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a
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