Question

已知x,y∈R.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

证明（充分性）
若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)²=(|x|+|y|)²,x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上，命题得证.

证明（充分性）
若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)²=(|x|+|y|)²,x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上，命题得证.