Question

18．M={x|ax²+bx+1＞0}，N={x|x²+bx+a＜0}，若M⊆N，则a、b间的关系是a≠0，且b²-4a≤0或a＜0，且b²-4a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a）≥（a+1）\sqrt{{b}^{2}-4a}}\\{b（1-a）≤-（a+1）\sqrt{{b}^{2}-4a}}\end{array}\right.$，．

Answer 1

分析 首先，对集合M的元素组成，分两种情形进行讨论完成，

解答 解：当M={x|ax²+bx+1＞0}=∅时，
此时，不等式ax²+bx+1＞0的解集为空集，
∴a≠0，且△=b²-4a≤0，
∴a、b间的关系是：a≠0，且b²-4a≤0，
当M={x|ax²+bx+1＞0}≠∅时，
∵M⊆N，
∴a＜0，且b²-4a＞0，
∴M={x|$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2（-a）}$＜x＜$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2（-a）}$}．
N={x|$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$＜x＜$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$}，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2（-a）}≥\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}}\\{\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2（-a）}≤\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a）≥（a+1）\sqrt{{b}^{2}-4a}}\\{b（1-a）≤-（a+1）\sqrt{{b}^{2}-4a}}\end{array}\right.$，
∴此时，a、b间的关系是：a＜0，且b²-4a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a）≥（a+1）\sqrt{{b}^{2}-4a}}\\{b（1-a）≤-（a+1）\sqrt{{b}^{2}-4a}}\end{array}\right.$，

点评 本题重点考查了集合之间的基本关系问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．