【题目】如图，正三棱柱
的所有棱长都为
，
是
的中点，
在
边上，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
是侧面
内的动点，且
平面
.
①在答题卡中作出点的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）；
②求三棱锥
的体积.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知定点
，点
在
轴上运动，点
在
轴上运动，点
为坐标平面内的动点，且满足
，
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）过曲线第一象限上一点
（其中
）作切线交直线
于点
，连结
并延长交直线于点
，求当
面积取最小值时切点
的横坐标.
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【题目】已知圆
，过点
作
的异于
轴的切线
，过点
作的异于轴的切线
.设与交于点
，记的轨迹为
.
（1）求的方程；
（2）已知
，在点处的切线交直线
于点
，过原点
与
平行的直线交
于点
.证明：以
为直径的圆截
轴的弦长为定值.
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【题目】已知矩形
中，
，E，F分别为
，
的中点.沿
将矩形
折起，使
，如图所示.设P、Q分别为线段
，
的中点，连接
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
AQI |
|
|
|
|
|
|
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
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【题目】某工厂拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为
米，高为
米，体积为
立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为
元（
为圆周率）.该蓄水池的体积最大时
______.
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【题目】如图1，在直角梯形
中，E，F分别为
的三等分点，
，
，
，
，若沿着
，
折叠使得点A和点B重合，如图2所示，连结
，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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【题目】已知函数
，
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
时，判断函数
，（
）有几个零点，并证明你的结论；
（3）设函数
，若函数
在
为增函数，求实数
的取值范围．
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