Question

已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′，F₂′，求以F₁′，F₂′为焦点，且过点P（0，2）的椭圆方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1．由题意，列出关于a，b的方程，解得a=2，b=1．从而写出双曲线的方程即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，-

5

），F₂（0，

5

）．根据点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′（-

5

，0），F₂′（

5

，0），设椭圆方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．由椭圆定义，得出m，n的值，从而写出椭圆的方程即可．

解答：解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1．
由题意，得

2a=4 a b =2

解得a=2，b=1．
所求双曲线的方程为

y2

4

-x2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，-

5

），F₂（0，

5

）．
点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′（-

5

，0），F₂′（

5

，0），又P（0，2），设椭圆方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．
由椭圆定义，得2m=6，∴m=3
因为m²-n²=5，所以n²=4．
所以椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．