Question

（2011•广安二模）命题“若过双曲线

x2

3

-y2=1的一个焦点F作与X轴不垂直的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为

3

”．
（1）试类比上述命题，写出一个关于抛物线y²=4x的类似的正确命题，并加以证明；
（2）试推广（1）中的命题，给出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不证明）．

Answer 1

分析：（1）先写出类似命题（先取一条特殊直线，找到定值）；再设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程求出A，B两点的坐标与直线方程的系数之间的关系，并求出A，B中点坐标，进而求出AB的垂直平分线方程以及点M的坐标；最后求出|AB|以及|FM|的长即可证明结论；
（2）根据上面的两个命题找到其共同点：过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴与点M，则

|AB|

|FM|

为定值；再结合上面的两个命题分析出定值的写法即可．

解答：解：（1）关于抛物线C的类似命题是：过抛物线y²=4x的焦F（1，0）点作与x轴不垂直的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴与点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为2．
证明：由已知可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）：
由

y2=4x x=my+1

消去x得y²-4my-4=0
△=16（m²+1）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B中点N（x₀，y₀）  则y₁+y₂=4m．
∴y₀=2m，x₀=2m²+1
∴N（2m²+1，2m）
∴AB的垂直平分线方程为y-2m=-m（x-2m²-1）：
令y=0，解得x=2m²+3．
所以M（2m²+3，0），故|FM|=2（m²+1）．
|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

(y1+y2) 2-4y1y2

=4（1+m²）
∴

|AB|

|FM|

=2．
（2）过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴与点M，则

|AB|

|FM|

为定值．且定值为

2

e

．

点评：本题是对直线与圆锥曲线问题的综合考查．解决本题的关键在于设出直线方程，并联立直线方程与曲线方程求出两交点之间的距离以及对应的垂直平分线方程．