Question

10．如图所示，已知P是边长为a的菱形ABCD所在平面外一点，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点．
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-EB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结EO，由已知得OE∥PC，从而得到EO⊥平面ABCD，由此能证明平面EDB⊥平面ABCD
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EB-D的正切值．

解答 （1）证明：设AC∩BD=0，连结EO，
∵菱形ABCD，∴O是AC中点，
∵E为PA的中点，∴OE∥PC，
∵PC⊥平面ABCD
∴EO⊥平面ABCD
又EO?平面EDB
故平面EDB⊥平面ABCD
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（$\frac{a}{2}$，0，0），E（0，0，$\frac{a}{2}$），B（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），D（0，-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），
$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{a}{2}，0，-\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{ED}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
设平面AEB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=\frac{a}{2}x-\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{\sqrt{3}a}{2}y-\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
由已知得平面EBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）
设二面角A-EB-D的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•1}$|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴tanθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-EB-D的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．