Question

15．已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若存在x∈[1，3]，使$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$+lnx=2成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（$\frac{1}{x}$）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，求得单调区间，可得f（x）的极小值，也为最小值；
（2）由题意可得a=$\frac{{x}^{2}（2-lnx）+lnx}{x}$，设g（x）=$\frac{{x}^{2}（2-lnx）+lnx}{x}$，x∈[1，3]，求出导数和单调区间，极值和最值，即可得到所求a的范围；
（3）由题意可得ax-lnx≥$\frac{a}{x}$-ln$\frac{1}{x}$，即有a（x-$\frac{1}{x}$）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，x≥1，求出导数，讨论x=1，x＞1时，F（x）递增，运用分离参数和基本不等式，即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）=x-lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．
即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；
（2）存在x∈[1，3]，使$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$+lnx=2成立，
即为$\frac{ax-lnx}{{x}^{2}}$=2-lnx，
即有a=$\frac{{x}^{2}（2-lnx）+lnx}{x}$，
设g（x）=$\frac{{x}^{2}（2-lnx）+lnx}{x}$，x∈[1，3]，
则g′（x）=（1-lnx）（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．
则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+$\frac{1}{e}$；
g（1）=2，g（3）=3（2-ln3）+$\frac{ln3}{3}$＞2，
则a的取值范围是[2，e+$\frac{1}{e}$]；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（$\frac{1}{x}$）成立，
即为ax-lnx≥$\frac{a}{x}$-ln$\frac{1}{x}$，
即有a（x-$\frac{1}{x}$）≥2lnx，x≥1，
令F（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，x≥1，
F′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$，
当x=1时，原不等式显然成立；
当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，
即有a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$≥0，
即a≥$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，由$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$＜$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1，
则a≥1．
综上可得a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查构造函数法和分类讨论思想方法的运用，考查运算能力，属于难题．