Question

已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:
(ab)= a(b)+b(a), (2)="2," a_n=(n∈N^*), b_n=(n∈N^*).
考察下列结论: ①(0)= (1); ②(x)为偶函数; ③数列{a_n}为等比数列; ④数列{b_n}为等差数列.其中正确的结论共有( 　)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

C

解析试题分析：令,再令,所以有(0)= (1)知①正确;令,从而令故知(x)为奇函数,故知②错误;对于③,由于(2)=2,所以;从而,猜想…，成等比数列且,用数学归纳法可证明此结论:对于n=1时，猜想显然成立；假设当时，猜想正确，即，从而，那么当时，
这就是说当时猜想也成立，故，故③正确;对于④,因为,所以数列{b_n}为等差数列,故④正确.由此可知①③④正确，故选C.
考点：1.函数的性质;2.等差数列与等比数列.