Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1，（a≠0）．
（1）当a=1时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（3）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出切点坐标，再求出导函数f′（x）在x=1处的值，即为斜率k，由点斜式写出切线方程；
（2）求出导数，由f′（x）＞0和f′（x）＜0解得x的范围，求出单调区间；
（3）利用分离变量法，把a表示成关于x的不等式，构造关于x的函数g（x），a≥g（x）恒成立，即a≥g（x）_max，利用导数求出g（x）的最大值，从而求出a的取值班范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x²+1，f（1）=-1，∴切点为（1，-1）
f′（x）=3x²-6x，f′（1）=-3，切线斜率为-3，切线方程为：y=-3（x-1）-1，即：3x+y-2=0；
（2）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）=3ax(x-

2

a

)，∵a＜0，
∴当x∈(-∞，

2

a

)∪（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当经x∈(

2

a

，0)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
即：f（x）的单调增区间为：(

2

a

，0)，单调减区间为当(-∞，

2

a

)和（0，+∞）；
（3）f（x）=ax³-3x²+1≥0⇒a≥

3x2-1

x3

，
令g（x）=

3x2-1

x3

（x＞0），g′(x)=

3(1-x2)

x4

∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴当x=1时g（x）有最大值，且最大值为g（1）=2
a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）．

点评：本题考查了切线方程，函数的单调区间，最值，运用了等价转化，函数与方程思想，属于中档题．