分析:(1)由已知条件②可知,方程f′(x)=0有两个根,则
,又x
1<x
2,可知x
1<0,x
2>0,
再由|x
1|+|x
2|=2可得,x
1≤-1,0<x
2≤1,所以x
1•x
2≥-1,
即
-≥-1,解得0<a≤3,从而命题得证.
(2)由(1)知x
2-x
1=2,于是(x
2-x
1)
2=(x
2+x
1)
2-4x
1•x
2=
+=4,整理得b=9a
2-3a
3,a∈(0,3],利用导数可求得-81≤b≤12,由已知可知b≥0,故0≤b≤12.
(3)∵h(x)=f′(x)-6a(x-x
1),∴h(x
1)=f′(x
1)=3ax
12+2
x
1-a
2,由(1)知
x1=-1-代入h(x
1)表达式
,即h(x
1)=-a
2+3a-
,由(2)知b=9a
2-6a
3,于是h(x
1)=a
2且0<a≤3,所以0<a
2≤12a恒成立.故|h(x
1)|≤12a得证.
解答:(1)证明:由已知条件②可知,方程f′(x)=
3ax2+2x -a2=0 ,(a>0)有两个根,由韦达定理得,
又x
1<x
2,可知x
1<0,x
2>0,再由|x
1|+|x
2|=2可得,x
1≤-1,0<x
2≤1,所以x
1•x
2≥-1,
即
-≥-1,解得0<a≤3,从而命题得证.
(2)解:由(1)知x
2-x
1=2,于是(x
2-x
1)
2=(x
2+x
1)
2-4x
1•x
2=
+=4,整理得b=9a
2-3a
3,a∈(0,3],
∵b′(a)=18a-9a
2,a∈(0,3],令b′(a)=18a-9a
2=0,解得a=0或a=2,又b(0)=0,b(2)=12,b(3)=-81
∴-81≤b≤12,由已知可知b≥0,故0≤b≤12.
(3)证明:∵h(x)=f′(x)-6a(x-x
1),∴h(x
1)=f′(x
1)=3ax
12+2
x
1-a
2,由(1)知
x1=-1-代入h(x
1)表达式,即h(x
1)=-a
2+3a-
,由(2)知b=9a
2-6a
3,于是h(x
1)=a
2且0<a≤3,所以0<a
2≤9,即0<a
2≤12恒成立.
故当x
1<x<2时|h(x
1)|≤12a,命题得证.
点评:主要考查利用导数求解参数的取值范围,属于基础题.