Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上任一点，已知|

PF1

|•|

PF2

|的最小值为m．当

c2

3

≤m≤

c2

2

时，其中c=

a2+b2

，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A．(1，

  2

  ]
• B．(

  3

  2

  ，2)
• C．(1，

  6

  2

  ]
• D．[

  6

  2

  ，

  2

  ]

Answer 1

分析：先根据题意得到两焦点的坐标，可得到当y=0时，|

PF1

|•|

PF2

|的最小值为m，进而可求出离心率．

解答：解：由题意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），设点P为（x，y），
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则|

PF1

|•|

PF2

|在y=0时，取得最小值为m，即m=c²-a²，
当

c2

3

≤m≤

c2

2

时，

c2

3

≤c²-a²≤

c2

2

时，
∴c²-

c2

2

≤a²≤c²-

c2

3

∴

1

2

≤

a2

c2

≤

2

3

，即

3

2

≤

c2

a2

≤2
故e=

c

a

∈[

6

2

，

2

]，
故选：D

点评：本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法