Question

把函数y=lnx-2的图像按向量a=(-1，2)平移得到函数y=f(x)的图像．

(Ⅰ)若x＞0，证明：f(x)＞；

(Ⅱ)若不等式x²≤f(x²)+m²-2bm-3时x∈[-1，1]和b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)由题设得f（x）=ln(x+1)

令g(x)=f(x)- ln（x+1）-，则

g′(x)=.

∵x＞0， ∴g′(x)＞0，

∴g(x)在(0，+∞)上是增函数．

故g(x)＞g(0)=0，即f(x)＞.

(Ⅱ)原不等式等价于x²-f(x²)≤m²-2bm-3．

令h(x)= x²-f(x²)= x²-ln(1+x²)，则

h(x)=x-．

令h(x)=0，得x=0，x=1，x=-1．列表如下：

x	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1
h(x)	0	+	0	-	0
h′(x)	极小值-ln2		极大值0		极小值-ln2

∴当x∈[-1，1]时，h(x)_max=0，

∴m²-2bm-3≥0

令Q(b)=-2mb+m²-3，则

解得m≤-3或m≥3．