Question

如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②平面MENF的为矩形；
③当M为BB′的中点时，MENF的面积最小；
④四棱锥C′-MENF的体积为常数；
以上命题中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：结合直线、平面的垂直和平行的条件进行逐个验证即可．

解答： 解：对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，
∴EF⊥平面BDD′B′，
∴平面MENF⊥平面BDD′B′；
∴①正确；
对于②：∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，
∴EN∥MF，且EN=MF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∴四边形MENF为平行四边形，
故②错误；
对于③：MENF的面积=EF×MN，
当M为BB′的中点时，MN最短，此时面积最小．
故③正确；
对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，
它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．
因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，
所以四棱锥C'-MENF的体积V为常函数，所以④正确．
综上，正确的有①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，属于中档题．