Question

如图所示，平面四边形PABC中，∠PAB为直角，△ABC为等边三角形，现把△PAB沿着AB折起，使得△APB与△ABC垂直，且点M为AB的中点．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCM
（2）若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由面APB⊥面ABC，PA⊥AB，得到线PA⊥面ABC，从而得到PA⊥CM，根据M为等边三角形ABC的中点，得到CM⊥AB，从而证出线面垂直，进一步得到面面垂直；
（2）求直线BC与平面PMC所成角的余弦值，首先利用等积法求出B到面PMC的距离，该距离与BC长度的比值为直线BC与平面PMC所成角的正弦值，利用同角三角函数的基本关系式求出余弦值．

解答：（1）证明：∵△APB⊥△ABC且交线为AB
又∵∠PAB为直角，所以AP⊥平面ABC，
故AP⊥CM，
又∵△ABC为等边三角形，点M为AB的中点，
所以CM⊥AB，又∵PA∩AB=A
所以CM⊥平面PAB，又CM?△ABC
所以平面PAB⊥平面PCM；
（2）解：假设PA=a，则AB=2a，再设B到平面PMC的距离为h_B．
则V_P-MBC=V_B-PMC=

1

3

PA•SMBC=

1

3

hB•SPMC
在直角三角形PAM中，由PA=AM=a，得PM=

2

a，
在等边三角形ABC中，AB边上的高CM=

3

a，
而三角形PMC为直角三角形，
故面积为S△PMC=

1

2

CM•PM=

1

2

•

2

a•

3

a=

6

2

a2．
又S△MBC=

1

2

S△ABC=

3

2

a2．
∴a•

3

2

a2=hB•

6

2

a2．
故hB=

2

2

a
所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值sinθ=

hB

BC

=

2 2 a

2a

=

2

4

．
所以余弦值为cosθ=

1-sin2θ

=

1-( 2 4 )2

=

14

4

．

点评：本题考查了面面垂直的判定，考查了直线和平面所成的角，训练了等积法，求解直线和平面所成角，可通过求平面的斜线上的点到平面的距离，然后用点到平面的距离比上该点到斜足的距离得到线面角的正弦值．此题是中档题．