Question

设A₁、A₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右顶点，若在椭圆上存在异于A₁、A₂的点P，使得

PO

•

PA2

=0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

• A、(0， 

  1

  2

  )
• B、(0， 

  2

  2

  )
• C、(

  1

  2

  ， 1)
• D、(

  2

  2

  ， 1)

Answer 1

分析：由

PO

•

PA2

=0，可得 y²=ax-x²＞0，故  0＜x＜a，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．

解答：解：A₁（-a，0），A₂（a，0），设P（x，y），则

PO

=（-x，-y），

PA 2

=（a-x，-y），
∵

PO

•

PA2

=0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y²=ax-x²＞0，∴0＜x＜a．
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，∵f（0）=-a²b²＜0，f（a）=0，如图：
△=（a³）²-4×（b²-a²）×（-a²b²）=a²（ a⁴-4a²b²+4b⁴ ）=a²（a²-2c²）²≥0，
∴对称轴满足 0＜-

a3

2(b2-a2)

＜a，即 0＜

a3

2(a2-b2)

＜a，∴

a2

2c2

＜1，

c2

a2

＞

1

2

，又  0＜

c

a

＜1，∴

2

2

＜

c

a

＜1，故选 D．
 

点评：本题考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，一元二次方程在一个区间上有实数根的条件，
体现了数形结合的数学思想．