Question

14．数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1•a_n=2ⁿ，求a_n．

Answer 1

分析 取n=n+1 得另一递推式，作比后可得数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以为公比的等比数列，然后分段求出等比数列的通项公式

解答 解：∵a₁=3 a_n+1•a_n=2ⁿ，
取n=1得，${a}_{2}=\frac{2}{3}$．
由a_n+1•a_n=2ⁿ ①
得${a}_{n+2}•{a}_{n+1}={2}^{n+1}$ ②
②÷①得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$．
∴数列{a_n}的奇数项构成以3为首项，以2为公比的等比数列，
偶数项构成以$\frac{2}{3}$为首项，以2为公比的等比数列，
则当n为奇数时，${a}_{n}=3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$；
当n为偶数时，${a}_{n}=\frac{2}{3}×{2}^{\frac{n}{2}-1}$=$\frac{1}{3}×{2}^{\frac{n}{2}}$．
综上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{\frac{1}{3}×{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式的求法，是中档题．