Question

4．已知圆的极坐标方程为：ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）展开利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²，即可得出直角坐标方程；
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方为：（x-2）²+（y-2）²=2．可得圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$．求出|OC|，进而得出最值．

解答 解：（1）圆的极坐标方程为：ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，展开可得ρ²-4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）+6=0，可得直角标准方程：x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方为：（x-2）²+（y-2）²=2．
可得圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$．
|OC|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴x²+y²的最大值和最小值分别为$（2\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}$，$（2\sqrt{2}-\sqrt{2}）^{2}$．即18；2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．