Question

如图，O为坐标原点，点A，B，C均在⊙O上，点A(

3

5

，

4

5

)，点B在第二象限，点C（1，0）．
（Ⅰ）设∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）若△AOB为等边三角形，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设∠COA=θ，求sin2θ的值，需要先根据任意角三角函数的定义求出θ的不在此列弦余弦值，再利用二倍角的正弦公式展开代入求值；
（Ⅱ）若△AOB为等边三角形，求点B的坐标，由图形知点B的坐标即角BOC的正弦余弦值．由此目标确定为得用和角公式求角BOC的正弦余弦值．

解答：解：（Ⅰ）因为cosθ=

3

5

，sinθ=

4

5

，所以sin2θ=2sinθcosθ=

24

25

，
（Ⅱ）因为△AOB为等边三角形，所以∠AOB=60°，
所以cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=

3-4 3

10

，
同理，sin∠BOC=

4+3 3

10

，
故点B的坐标为(

3-4 3

10

，

4+3 3

10

)．

点评：本题考查二倍角的正弦，任意角三角函数的定义以及两角和的正弦公式，涉及到的公式较多，有一定的综合性．