【答案】
分析:(1)由奇函数的定义得f(1)=-f(-1),代入解析式求出a的值;
(2)根据奇函数的定义将不等式化为:f(t
2-2t)<f(-2t
2+k),再分离函数解析式,利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性,再列出关于x的不等式,由题意转化为:3t
2-2t-k>0恒成立,利用二次函数的性质列出等价不等式求解.
解答:解:(1)由f(x)是奇函数得,f(1)=-f(-1),
即
=-
,解得a=2,
(2)∵f(t
2-2t)+f(2t
2-k)<0,
∴f(t
2-2t)<-f(2t
2-k),
∵f(x)为奇函数,
∴f(t
2-2t)<f(-2t
2+k)
由(1)得,
,
∴f(x)在定义域内为单调递减函数,
∴t
2-2t>-2t
2+k,即3t
2-2t-k>0恒成立,
∴△=4+12k<0,解得
,
故k的取值范围是
.
点评:本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用,以及分离常数法,复合函数和指数函数单调性的应用,二次函数的性质的应用,较综合,但难度不大.