Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ．用向量法解决下列问题：

（1）若AC的中点为E，求A1C与DE所成的角；
（2）求二面角B1﹣AC﹣D1（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由AD=CD，AC的中点为E，∴DE⊥AC．

如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

依题意可得A（0，0，0 ），B（1，0，0），A1（0，0，2）

C（0，2，0），D（﹣2，1，0），B1（1，0，2），

D1（﹣2，1，2），E（0，1，0）．

=（0，2，﹣2）， =（2，0，0），

∵ =0，∴A1C⊥DE，

∴A1C与DE所成的角为 ．

（2）解：设平面B1AC与平面D1AC所成的角为θ，

平面B1AC的法向量为 =（x，y，1），平面D1AC的法向量为 =（a，b，1）．

=（﹣1，0，﹣2）， =（2，﹣1，﹣2）， =（0，2，0）．

由 ，得 =（﹣2，0，1），

由 ，得 =（1，0，1），

则cosθ= = = ，

∴二面角B1﹣AC﹣D1（锐角）的余弦值为 ．

【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1C与DE所成的角．（2）求出平面B1AC的法向量和平面D1AC的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣AC﹣D1（锐角）的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．