Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）求证：当x∈（0，e]时，e²x-

5

2

＞lnx+

lnx

x

．

Answer 1

（1）求导函数可得f′(x)=

2x2+ax-1

x

因为函数f（x）在[1，2]上是减函数，所以f′(x)=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，∴a≤-

7

2

；
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′（x）=

ax-1

x

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②当0＜

1

a

＜e时，g（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增
∴g（x）_min=g（

1

a

））=1+lna=3，a=e²，满足条件．
③当

1

a

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
综上，存在实数a=e²，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3．
（3）证明：由（2）知当a=e²，g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，即g（x）=e²x-lnx≥3
又原不等式成立只须e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

成立
令F（x）=

5

2

+

lnx

x

，则F′（x）=

1-lnx

x2

当0＜x≤e时，F'（x）≥0，∴F（x）在（0，e]上单调递增
故F（x）_max=F（e）=

1

e

+

5

2

＜3
故当x∈（0，e]时，e²x-

5

2

＞lnx+

lnx

x

，即原命题得证