Question

动圆P与定圆O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，设P点的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点A（3，0）作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若当λ₁+λ₂=m时，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，
动圆的半径为r，则|PQ₁|=r+3，
|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，…（3分）
点P的轨迹是以O₁、O₂为焦点的双曲线右支，
a=1，c=2，
方程为…（6分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当k不存在时，不合题意．
直线PQ的方程为y=k（x-3），
则，
…（8分）
由∵x₁、，
∴k²＞3…（10分）
…（14分）
分析：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，动圆的半径为r，则|PQ₁|=r+3，|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，由此能求出C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），当k不存在时，不合题意．直线PQ的方程为y=k（x-3），由此能求出m的取值范围．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．