Question

2．如图，曲线Γ：x²+y²=1分别与x、y轴的正半轴交于点A、B，点C（-2，0），角α、β的终边分别与曲线Γ交于点P、Q．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{OP}$共线，求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若Q（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OQ}$方向上的投影；
（Ⅲ）有研究性小组发现：若满足β=α+$\frac{π}{6}$，则（y_P）²+（x_Q）²+y_P•x_Q是一个定值，你认为呢？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{OP}$共线，转化为斜率之间的关系，利用两角和差的正切公式即可求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）根据向量投影的定义即可求$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OQ}$方向上的投影；
（Ⅲ）求出y_P，x_Q的坐标，利用两角和差的正弦公式进行整理即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）若$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{OP}$共线，
则CB∥OP，
则k_OP=k_CB=tanα=$\frac{1}{2}$，则tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}=\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}}=3$．
（Ⅱ）由（1）得tanα=$\frac{1}{2}$，
∴得$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{cosα=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinα=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{cosα=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
则P（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或P（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$±\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
设$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OQ}$方方向上的投影是|$\overrightarrow{OP}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OQ}|}$=$±\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（Ⅲ）由三角函数的定义可知y_P=sinα，x_Q=cosβ，
若β=α+$\frac{π}{6}$，则x_Q=cosβ=cos（α+$\frac{π}{6}$），
则（y_P）²+（x_Q）²+y_P•x_Q=sin²α+cos²（α+$\frac{π}{6}$）+sinα+cos（α+$\frac{π}{6}$）
=sin²α+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）²+sinα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$，
故结论正确，定值为=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，两角和差的正弦公式和两角和差的正切公式的应用，综合考查公式的应用．