Question

14．已知f（x）=log_ax，g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数的g（x）=（log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$）²$-\frac{1}{4}$log²_a$\frac{a}{2}$，其中x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
分类得出①当a∈（0，1）时，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，递减且log_ax∈[log_a2，log_a$\frac{1}{2}$]，判断复合函数的单调性的条件，对称轴t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≥log_a$\frac{1}{2}$，求解即可．
②当a∈（1，+∞）时，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，递增且log_ax∈[log_a$\frac{1}{2}$，log_a2]，根据复合函数单调性得出t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≤log_a$\frac{1}{2}$，解得a$≤\frac{1}{2}$，判断是不是符合题意．

解答 解：∵f（x）=log_ax，g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]，
∴g（x）=（log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$）²$-\frac{1}{4}$log²_a$\frac{a}{2}$，其中x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
①当a∈（0，1）时，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，递减且log_ax∈[log_a2，log_a$\frac{1}{2}$]，
要使原函数g（x）递增，则函数f（x）单调递减，因此，对称轴t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≥log_a$\frac{1}{2}$，解得a$≤\frac{1}{2}$，因此a∈（0，$\frac{1}{2}$]，
②当a∈（1，+∞）时，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，递增且log_ax∈[log_a$\frac{1}{2}$，log_a2]，
要使原函数g（x）递增，则函数f（x）单调递增，
因此对称轴t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≤log_a$\frac{1}{2}$，解得a$≤\frac{1}{2}$，不符合题意．
综上可得出：a∈（0，$\frac{1}{2}$]，

点评 本题考查了二次函数的性质，复合函数的性质，分类讨论的思想的运用，属于综合题．