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(本题满分14分)

抛物线D以双曲线的焦点为焦点.

   (1)求抛物线D的标准方程;

   (2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为AB.求证:直线AB过定点Q,并求出Q的坐标;

   (3)在(2)的条件下,若直线PQ交抛物线DMN两点,求证:|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

 

【答案】

(1)

(2)(1,1)

(3)证明见解析。

【解析】(1)由题意,

所以,抛物线D的标准方程为                                          …………3分

   (2)设

抛物线D在点A处的切线方程为…………4分

而A点处的切线过点

同理,

可见,点AB在直线上.

所以,直线AB过定点Q(1,1)                                                                …………6分

   (3)设

直线PQ的方程为

由韦达定理,                      …………9分

                                                                      …………12分

代入方程(*)的左边,得

(*)的左边

=0.

因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|.                                                     …………14分

 

 

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π
3
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