Question

6．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t为常数）．当曲线N与曲线M只有一个公共点时，t的取值范围为$\left\{{t\left|{1-\sqrt{2}＜t≤1+\sqrt{2}或t=-\frac{5}{4}}\right.}\right\}$．

Answer 1

分析 把参数方程利用同角三角函数的基本关系化为直角坐标方程，根据极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程，当直线N过点A（$\sqrt{2}$，1）时满足要求，此时t=$\sqrt{2}$+1．当直线N过点B（-$\sqrt{2}$，1）时，此时t=-$\sqrt{2}$+1．当直线和抛物线相切时，联立联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y-t=0}\end{array}\right.$，由△=0求得t，数形结合求得t的取值范围．

解答 解：∵曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴x²=（sinθ+cosθ）²=1+2sin2θ=1+y，
即 x²=1+y，
∴曲线M的参数方程y=x²-1．x∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]表示一段抛物线
曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t为常数）．
∴$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，∴ρsinθ+ρcosθ=t，
化为直角坐标方程为 x+y-t=0．
由曲线N与曲线M只有一个公共点，若曲线M，N只有一个公共点，
则当直线N过点A（$\sqrt{2}$，1）时满足要求，此时t=$\sqrt{2}$+1，
并且向左下方平行运动直到过点（-$\sqrt{2}$，1）之前，
总是保持只有一个公共点．
当直线N过点B（-$\sqrt{2}$，1）时，此时t=-$\sqrt{2}$+1，所以-$\sqrt{2}$+1＜t≤$\sqrt{2}$+1满足要求．
再接着从过点（-$\sqrt{2}$，1）开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，
相切时仍然只有一个公共点．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y-t=0}\end{array}\right.$有唯一解，即 x²+x-1-t=0 有唯一解，
故有△=1+4+4t=0，解得t=-$\frac{5}{4}$．
$\left\{{t\left|{1-\sqrt{2}＜t≤1+\sqrt{2}或t=-\frac{5}{4}}\right.}\right\}$．
故答案为：$\left\{{t\left|{1-\sqrt{2}＜t≤1+\sqrt{2}或t=-\frac{5}{4}}\right.}\right\}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题．