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已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥轴时,求的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)是否存在的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)m=0, .此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
(II)满足条件的存在,且

试题分析:(Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为: x =1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-). 因为点A在抛物线上.所以,即.此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
(II): 假设存在的值使的焦点恰在直线AB上,由(I)知直线AB的斜率存在,故可设直线AB的方程为
消去…①

设A、B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),  
则x1,x2是方程①的两根,x1+x2.
  由 消去y得.         ………………②
因为C2的焦点在直线上,
所以,即.代入②有.
.                        …………………③
由于x1,x2也是方程③的两根,所以x1+x2.
从而. 解得   ……………………④
又AB过C1C2的焦点,所以

   …………………………………⑤
由④、⑤式得,即
解得于是
因为C2的焦点在直线上,所以.
 
由上知,满足条件的存在,且
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题解答过程中,主要运用了抛物线的几何性质。结合抛物线的焦半径公式,建立了k的方程。
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