试题分析:(Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为: x =1,从而点A的坐标为(1,
)或(1,-
). 因为点A在抛物线上.所以
,即
.此时C
2的焦点坐标为(
,0),该焦点不在直线AB上.
(II): 假设存在
、
的值使
的焦点恰在直线AB上,由(I)知直线AB的斜率存在,故可设直线AB的方程为
.
由
消去
得
…①
设A、B的坐标分别为(x
1,y
1), (x
2,y
2),
则x
1,x
2是方程①的两根,x
1+x
2=
.
由
消去y得
. ………………②
因为C
2的焦点
在直线
上,
所以
,即
.代入②有
.
即
. …………………③
由于x
1,x
2也是方程③的两根,所以x
1+x
2=
.
从而
=
. 解得
……………………④
又AB过C
1,C
2的焦点,所以
,
则
…………………………………⑤
由④、⑤式得
,即
.
解得
于是
因为C
2的焦点
在直线
上,所以
.
或
.
由上知,满足条件的
、
存在,且
或
,
.
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题解答过程中,主要运用了抛物线的几何性质。结合抛物线的焦半径公式,建立了k的方程。