Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB²=AP•AD
（Ⅰ）求证：∠ABC=∠ACB
（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BP，由已知等式变形得到比例式，再由一对公共角相等，得三角形ABD与三角形APB相似，由相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再利用圆周角定理得到一对角相等，等量代换即可得证；
（Ⅱ）由第一问的结论得到AB=AC，再由∠ABC=60°，得到三角形ABC为等边三角形，由P为弧AC中点，利用弧，圆心角及弦之间的关系得到BP为角平分线，求出∠ABC=30°，进而确定出三角形ABP为直角三角形，确定出BP为圆的直径，确定出BP的长，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AP的长，李艳艳余弦定理求出AB的长，代入已知等式中计算即可求出AD的长．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接BP，
∵AB²=AP•AD，∴

AB

AP

=

AD

AB

，
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
∵∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠ACB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AB=AC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵P为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是圆O的直径，
∴BP=2，
∴AP=

1

2

BP=1，
在Rt△PAB中，由勾股定理得：AB=

3

，
∴AD=

AB2

AP

=3．

点评：此题考查了余弦定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．