Question

【题目】定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0 ， 则称点（x0 ， f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；
②函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心也是函数 的一个对称中心；
③存在三次函数h（x），方程h′（x）=0有实数解x0 ， 且点（x0 ， h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；
④若函数 ，则 =﹣1007.5．
其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：∵任何三次函数的二阶导数都是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故①不正确；由f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5，得f′（x）=3x2﹣6x﹣3，f″（x）=6x﹣6，由6x﹣6=0，得x=1，函数f（x）的对称中心为（1，0），
又由 ，得x=k，k∈Z，∴f（x）的对称中心是函数 的一个对称中心，故②正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0 ， 点（x0 ， f（x0））为y=f（x）的对称中心，即③正确；
∵ ，
∴g′（x）=x2﹣x，g'（x）=2x﹣1，
令g'（x）=2x﹣1=0，得x= ，
∵g（ ）= ×（ ）3﹣ ×（ ）2﹣ =﹣ ，
∴函数 的对称中心是（ ，﹣ ），
∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1，
∴ =﹣1007.5，故④正确．
所以答案是：②③④．
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．