Question

【题目】已知函数f(x)＝,若对于t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是________．

Answer 1

【答案】[，1]

【解析】

本题条件“t∈R，f(t)≤kt”的几何意义是：在(－∞，＋∞)上，函数y＝f(t)的图像恒在直线y＝kt的下方，利用数形结合的方法解决本问题．

令y＝x3－2x2＋x，x<1，则y′＝3x2－4x＋1＝(x－1)·(3x－1)，

令y′>0，即(x－1)(3x－1)>0，解得x<或x>1.又因为x<1，所以x<.

令y′<0，得<x<1.

所以y的增区间是(－∞)，减区间是(，1)，所以y极大值＝.

根据图像变换可作出函数y＝－|x3－2x2＋x|，x<1的图像．

又设函数y＝lnx(x≥1)的图像经过原点的切线斜率为k1，切点(x1，lnx1)，

因为y′＝，所以k1＝＝，解得x1＝e，所以k1＝.

函数y＝x3－2x2＋x在原点处的切线斜率k2＝y′x＝0＝1.

因为t∈R，f(t)≤kt，所以根据f(x)的图像，数形结合可得≤k≤1.