Question

【题目】已知首项为1的正项数列{an}满足ak+1=ak+ai（i≤k，k=1，2，…，n﹣1），数列{an}的前n项和为Sn ．
（1）比较ai与1的大小关系，并说明理由；
（2）若数列{an}是等比数列，求 的值；
（3）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵首项为1的正项数列{an}满足ak+1=ak+ai（i≤k，k=1，2，…，n﹣1），数列{an}的前n项和为Sn．

∴ak+1﹣ak=ai＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴数列{an}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜an．

∴ai＞1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）

（2）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；

∵{an}是等比数列，∴数列{an}的公比为2．

∵ak+1﹣ak=ai（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴当i=k时有ak+1=2ak．

这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．

∴ ．∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴ = =

（3）解：证明：∵1=a1=1，2=a2=2，3≤a3≤22，4≤a4≤23，…，n≤an≤2n﹣1，

由上面n个式子相加，得到：1+2+3+…+n≤a1+a2+a3+…+an≤20+21+22+…+2n﹣1，

化简得 ＜a1+a2+a3+…+an）＜2n﹣1，

∴

【解析】（1）利用数列的单调性即可比较ai与1的大小关系．（2）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出 的值．（3）利用“累加求和”与不等式的性质即可证明： ．
【考点精析】关于本题考查的等比数列的基本性质，需要了解{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列才能得出正确答案．