Question

等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q≠-1），用S_n→m表示这个数列的第n项到第m项共m-n+1项的和．
（Ⅰ）计算S_1→3，S_4→6，S_7→9，并证明它们仍成等比数列；
（Ⅱ）受上面（Ⅰ）的启发，你能发现更一般的规律吗？写出你发现的一般规律，并证明．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）首先根据信息的要求分别求出结论中的每一项的值，最后证得结论．
（Ⅱ）根据第一问的结论，先进行猜想，然后采用同样的方法进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q≠-1），用S_n→m表示这个数列的第n项到第m项共m-n+1项的和则：S13=a₁+a₂+a₃=a1(1+q+q2)  S46=a₄+a₅+a₆=a4(1+q+q2)  S79=a₇+a₈+a₉
=a7(1+q+q2)
根据等比数列的性质：若m+n=p+q则：a_ma_n=a_pa_q
所以：a42=a1a7
S13•S79=S462 
即：S_1→3，S_4→6，S_7→9，它们仍成等比数列．
（Ⅱ）S0m，Sm2m，S2m3m仍成等比数列
S0m=a₁+a₂+…+a_m=a1(1+q+…+qm-1)
Sm2m=a_m+1+a_m+2+…+a_2m=am+1(1+q+…+qm-1)
S2m3m=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m=a2m+1(1+q+…+qm-1)
根据等比数列的性质：若m+n=p+q则：a_ma_n=a_pa_q
则：a_m+12=a₁a_2m+1
所以：Sm2m2=S0m•S2m3m

点评：本题考查的知识点：等比数列的通项公式，等比数列的性质及前n项和．