Question

【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，，8）数据作了初步处理， 得到下面的散点图及一些统计量的值．

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

其中wi= ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 ， v1），（u2 ， v2），，（un ， vn），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为： = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． （Ⅱ）令ω= ，先建立y关于ω的线性回归方程．
由于d= =68，c=563﹣68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为y=100.6+68 ．
（Ⅲ）（ i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68 =576.6，
年利润z的预报值z=576.6×0.2﹣49=66.32．（8分）
（ ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值z=0.2（100.6+68 ）﹣x=﹣x+13.6 +20.12，
当 =6.8时，年利润的预报值最大．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
【解析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量ω= ，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．