Question

（2012•济宁一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以椭圆C的短轴为直径的圆的方程为x²+y²=1．
（I）求椭圆C的方程；
（II）圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于不同的两点A、B，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的离心率即椭圆的短轴长，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分类讨论，设出直线方程，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面积的最大值．

解答：解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以椭圆C的短轴为直径的圆的方程为x²+y²=1，
∴

c

a

=

2

2

，b=1
∴a²=b²+c²
∴c=1，a=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）斜率存在时，设直线l：y=kx+b是圆的一条切线，则

|b|

1+k2

=1，∴|b|=

1+k2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线l方程代入椭圆方程，整理可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
∴x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2-2

1+2k2

∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8k4+8k2 4k4+4k2+1

令t=4k⁴+4k²+1，则t＞0，|AB|=

2(t-1) t

=

2- 1 t

＜

2

当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为x=1，则y=±

2

2

∴|AB|=

2

∴|AB|_max=

2

∵S△AOB=

1

2

|AB|•1
∴△AOB面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．