Question

已知椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0）的右焦点坐标为（1，0），点P（1，）在椭圆E上．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过椭圆E的顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）两点M，N．
问：直线MN是否一定经过x轴上一定点？若是，求出定点坐标，不是，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）右焦点为（1，0），点P（1，）在椭圆E上，2a=|PF₁|+|PF₂|=，
由此能求出椭圆方程．
（II）设直线AM方程为y=k（x+2），由，解得，同理，得N（），
若，则得k²=1，即直线MN的方程为，此时过x轴上一点Q（-），由此能导出直线MN过x轴上一定点Q（-）．
解答：解：（I）∵右焦点为（1，0），∴c=1，左焦点为（-1，0），点P（1，）在椭圆E上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=，
∴，
∴椭圆方程为．
（II）设直线AM方程为y=k（x+2），
则有，整理，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得，同理，得N（），
若，则得k²=1，即直线MN的方程为
，此时过x轴上一点Q（-）（10分）
当k²≠1时，假设直线MN过x轴上一定点Q（m，0），则有，
，，则由，
解得m=-，
所以直线MN过x轴上一定点Q（-）（12分）．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．