Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x2﹣a），a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知f'（x）=ex（x2+2x﹣a）．

因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，

所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．

即x+y+1=0．

（2）解：因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，

所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=ex（x2+2x﹣a）≤0恒成立．

即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．

显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，

当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．

所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，

等价于 即 所以a≥3．

（3）解：设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．

①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．

所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．

②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f'（x）=ex（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，

解得

随着x变化时，f（x）和f'（x）的变化情况如下：

x
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

当x∈ 时， ．

所以 ．

所以f（x）=ex（x2﹣a）＞0．

又因为函数f（x）的最小值为﹣2e＜0，

所以函数f（x）的最小值只能在 处取得．

所以 ．

所以 ．

易得 ．

解得a=3．

以下证明解的唯一性，仅供参考：

设

因为a＞0，所以 ， ．

设 ，则 ．

设h（x）=﹣xex，则h'（x）=﹣ex（x+1）．

当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．

当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．

所以方程 只有唯一解a=3

【解析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于 即 所以a≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在 处取得．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．