Question

已知△ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a²-（b-c）²，且b+c=8．
（1）求cosA；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形面积公式，结合已知可得S=a2-b2-c2+2bc=

1

2

bcsinA，结合余弦定理可得sinA=4-4cosA，再结合平方关系可求cosA；
（2）由（1）可得A的正弦值，结合b+c=8，将S的表达式化为二次函数，结合二次函数的图象和性质可求出S的最值．

解答：解：（1）由题意得：S=a2-b2-c2+2bc=

1

2

bcsinA
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA⇒a²-b²-c²=-2bccosA
代入上式得：2bc-2bccosA=

1

2

bcsinA
即   sinA=4-4cosA
代入  sin²A+cos²A=1得：cosA=

15

17

（2）由（1）得  sinA=

8

17

∵b+c=8∴c=8-b
∴S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc=

4

17

b(8-b)=

4

17

(-b2+8b)≤

64

17

所以，面积S的最大值为

64

17

点评：本题考查的知识点是余弦定理，三角形的面积，给值求值，是三角函数的简单综合应用，难度中档