Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n＞0，a₁=1，且a_n²，2S_n，a_n+1²成等比数列，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，数列{b_n}前n项和为T_n，求证T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由题意可得（2S_n）²=a_n²a_n+1²，从而可得a_n+2-a_n=2，从而可判断出a_n=n；
（2）化简b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，利用放缩法证明即可．

解答 解：（1）∵a_n²，2S_n，a_n+1²成等比数列，
∴（2S_n）²=a_n²a_n+1²，又∵a_n＞0，
∴2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+2，
两式相减可得，
2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∴a_n+2-a_n=2，
∵a₁=1，∴a₂=2；
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
故a_n=n；
（2）证明：∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
=1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查了等比数列的应用及放缩法的应用，同时考查了裂项求和法的应用．