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    【题目】如图，把等腰直角三角形沿斜边所在直线旋转至的位置，使.

    (1)求证:平面平面；

    (2)求二面角的余弦值.

    【答案】(1)证明见解析(2)

    【解析】

    （1）取的中点，连接，可得得，根据三角形中的几何关系，得到，从而得到，所以得到平面，再得到平面平面；（2）取的中点，连接，，再在直角三角形中，得到，从而得到二面角的余弦值.

    （1）如图，取的中点，连接，

    是等腰直角三角形， ，且.

    连接，同理得，且，

    ，.

    ，，

    为等腰直角三角形，，

    又，平面，

    平面.

    又平面，

    ∴平面平面.

    （2）取的中点，连接.

    易知为等边三角形， .

    又为等腰直角三角形，.

    为二面角的平面角.

    由（1）知，，

    且平面，，

    所以平面，平面，

    .

    为直角三角形.

    设，则，

    所以，

    则，

    ，

    即二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    喜欢节目A

    不喜欢节目A

    总计

    男性观众

    女性观众

    总计

    60

    附：

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

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    表一：改革后产品的产量和相应的原材料消耗量

    x

    3

    4

    5

    6

    y

    2.5

    3

    4

    4.5

    表二：改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数

    合格品的数量

    不合格品的数量

    合计

    改革前

    90

    10

    100

    改革后

    85

    15

    100

    合计

    175

    25

    200

    （1）请根据表一提供数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.

    （2）已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料，根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料？

    （3）请根据表二提供的数据，判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”？

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