Question

10．已知等差数列{a_n}中，a₃=5，a₆=11，数列{b_n}前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$．
（1）求a_n和b_n；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$及a_n=a₃+（n-3）d计算即得等差数列{a_n}的通项公式；当n≥2时利用b_n=S_n-S_n-1化简整理可知b_n=3b_n-1，进而可知数列{b_n}是首项、公比均为3的等差数列，计算即得数列{b_n}的通项公式；
（2）通过（1）可知c_n=（2n-1）3ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=$\frac{11-5}{3}$=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-1；
∵S_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$，
∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$）-（$\frac{3}{2}$b_n-1-$\frac{3}{2}$）
=$\frac{3}{2}$（b_n-b_n-1），
整理得：b_n=3b_n-1，
又∵b₁=$\frac{3}{2}$b₁-$\frac{3}{2}$，即b₁=3，
∴数列{b_n}是首项、公比均为3的等差数列，
于是b_n=3•3^n-1=3ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=2n-1、b_n=3ⁿ，
则c_n=a_nb_n=（2n-1）3ⁿ，
∵T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
∴3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2T_n=3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+$\frac{18（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．