Question

对于平面直角坐标系内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||；
③在△ABC中，若∠A=90°，则||AB||²+||AC||²=||BC||²．
其中错误的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：弄清新命题的运算规则，设出各点坐标，代入关系式计算，根据计算结果进行判断．

解答：解：对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x₀，y₀），x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，则|AC|+|CB|=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|成立，故①正确．
对于②在△ABC中，|AC|+|CB|=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|，故②不一定成立
对于③平方后，是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立；
∴错误的个数为2个，
故选C．

点评：本题考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题．