【题目】某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及均值和方差.
【答案】（1）
；（2）
的分布列为
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的数学期望为
．
【解析】
试题（1）设“某节目的投票结果是最终一等奖”为事件
，则事件包含该节目可以获
张“获奖票”或该节目可以获
张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终一等奖的概率；（2）所含“获奖”和“待定”票数之和的值为
，
，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望．
试题解析：（1）设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为，则事件包括：该节目可以获张“获奖”票，或者获张“获奖”票，∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响，
∴
； 6分（2）所含“获奖”和“待定”票数之和的值为
，，，，
，
，
，
， 8分
因此的分布列为
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∴的数学期望为
， 12分
（亦可服从二项分布
同样给分）（12分）
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【题目】我们可以把
看作每天的"进步”率都是1%，一年后是
；而把
看作每天的“落后”率都是1%，一年后是
.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
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【题目】（本小题满分10分） 已知P（3，2），一直线
过点P，
①若直线在两坐标轴上截距之和为12，求直线的方程；
②若直线与x、y轴正半轴交于A、B两点，当
面积为12时求直线的方程．
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【题目】我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
（1）求函数
图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
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【题目】（Ⅰ）设
，
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围
（Ⅱ）已知命题
方程
表示焦点在
轴上的椭圆；命题
：双曲线
的离心率
．若
有且只有一个为真命题，求
的取值范围．
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【题目】某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：
（1）用分层抽样的方法在
岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取
人，求至少有
人的学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取
个人，其中
岁以下
人，
岁以上人，再从这个人中随机抽取出人，此人的年龄为岁以上的概率为
，求
的值．
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【题目】已知函数
(
且
)，
（1）若
，且函数
的值域为
，求的解析式；
（2）在（1）的条件下，当
时，
时单调函数，求实数
的取值范围；
（3）当
，
时，若对于任意
，不等式
恒成立，求实数的取值范围
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